Considere um polígono regular inscrito numa circunferência com vértices V1,V2,...,Vn. Para k entre 1 e ?n/2?…

Questão

Considere um polígono regular inscrito numa circunferência com vértices V1,V2,...,Vn. Para k entre 1 e ?n/2?, o ângulo inscrito em V_{1+k} que intercepta o arco entre V1 e V_{1+2k} mede 45°. Determine todos os pares (n,k) possíveis com n = 36.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Se o polígono é regular, a medida do arco entre vértices consecutivos é 360°/n. O arco de V1 até V_{1+2k} abrange 2k lados, então sua medida central é (2k)·(360°/n)=720k/n. O ângulo inscrito que intercepta esse arco é a metade do ângulo central: 360k/n. Igualando a 45°: 360k/n = 45 ? dividir ambos os lados por 45 ? 8k/n = 1 ? n = 8k. Como n = 36 e k =1, os pares (n,k) inteiros positivos são: k=1 ? n=8; k=2 ? n=16; k=3 ? n=24; k=4 ? n=32. Verificar restrição k = ?n/2?: para (8,1): 1 = 4; (16,2): 2 = 8; (24,3): 3 = 12; (32,4): 4 = 16. Assim os pares válidos com n = 36 são (8,1), (16,2), (24,3) e (32,4).

Explicação

A solução utiliza a relação entre ângulos centrais e ângulos inscritos em um polígono regular, aplicando a fórmula para calcular o ângulo inscrito em função do número de lados e do valor de k. A condição de que n = 36 permite determinar os valores de k que satisfazem a equação, respeitando a restrição de que k deve ser menor ou igual a n/2. Assim, os pares (n, k) são encontrados ao verificar quais valores de k resultam em múltiplos inteiros de 8, dentro dos limites estabelecidos.

Raio-X da questão

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