Em ?ABC, o ângulo reto está em C. A altura CH relativa à hipotenusa AB encontra AB em D. Sabendo que AB = 25 e…

Questão

Em ?ABC, o ângulo reto está em C. A altura CH relativa à hipotenusa AB encontra AB em D. Sabendo que AB = 25 e AD = 9, determine AC, BC e CH e demonstre, por relações métricas e semelhança de triângulos, como obteve esses valores.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Considere ?ABC retângulo em C e altura CH que projeta C em D sobre AB. Pelo teorema das semelhanças, os triângulos ABC, ACD e CBD são semelhantes. Das igualdades de semelhança seguem as relações métricas: AC² = AB·AD e BC² = AB·DB, onde DB = AB - AD. Aqui AB = 25 e AD = 9 ? DB = 16. Então AC² = 25·9 = 225 ? AC = 15. BC² = 25·16 = 400 ? BC = 20. A altura CH é a média geométrica das projeções: CH² = AD·DB = 9·16 = 144 ? CH = 12. Verificação pelo Teorema de Pitágoras: 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25², consistente. A demonstração formal parte da semelhança entre ?ACD ~ ?ABC e ?CBD ~ ?ABC, levando às expressões AC/AB = AD/AC (daí AC² = AB·AD) e BC/AB = DB/BC (daí BC² = AB·DB), e da relação CH² = AD·DB resultante da similaridade entre os triângulos formados pela altura.

Explicação

A resposta utiliza as relações de semelhança entre os triângulos formados para derivar as medidas dos lados e da altura, aplicando corretamente o teorema de Pitágoras para verificar os resultados. As relações métricas derivadas da semelhança garantem que os valores obtidos para AC, BC e CH são consistentes e satisfazem as propriedades do triângulo retângulo. Além disso, a utilização da média geométrica para calcular a altura CH é uma aplicação direta das propriedades dos triângulos semelhantes.

Raio-X da questão

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