Em um círculo de centro O, A, B, C são pontos na circunferência. A tangente ao círculo no ponto C é paralela…

Questão

Em um círculo de centro O, A, B, C são pontos na circunferência. A tangente ao círculo no ponto C é paralela ao segmento chord AB. Sabe-se que o ângulo inscrito ?ACB mede 35°. a) Determine a medida do arco AB e do ângulo central ?AOB que subtende o mesmo arco. b) Justifique, mostrando as relações entre tangente, corda, ângulos inscritos e ângulo central; explique por que a paralelidade entre a tangente em C e AB implica essas medidas.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) O ângulo inscrito ?ACB mede 35°, logo o arco AB subtendido por esse ângulo mede 2·35° = 70°. O ângulo central ?AOB que subtende o mesmo arco mede 70°. b) Justificativa: pelo teorema ângulo inscrito–arco, o ângulo inscrito vale metade da medida do arco que subtende; assim arco AB = 2·?ACB = 70° e ?AOB, que mede o arco, vale 70°. A condição ‘‘tangente em C paralela a AB’’ implica que o ângulo formado entre a tangente em C e a corda CA é congruente ao ângulo inscrito que subtende o arco oposto (teorema da tangente e corda) e, pela paralelidade, ângulos alternados correspondentes fazem com que o ângulo inscrito considerado realmente veja o arco AB; combinando essas propriedades conclui-se que o arco AB e o ângulo central têm as medidas acima. Para elaborar formalmente, usa-se igualdade de ângulos correspondentes por paralelismo e o fato de que o ângulo formado entre tangente e corda é igual ao ângulo inscrito no arco oposto, o que confirma a relação entre arcos e ângulos citada.

Explicação

A medida do arco AB é o dobro do ângulo inscrito ACB, conforme o teorema do ângulo inscrito, que afirma que o ângulo inscrito é sempre a metade do arco que ele subtende. A paralelidade entre a tangente em C e o segmento AB garante que os ângulos formados são congruentes, permitindo aplicar o teorema da tangente e corda, que relaciona ângulos e arcos opostos. Assim, a relação entre os ângulos e o arco é estabelecida, confirmando as medidas encontradas.

Raio-X da questão

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