Sejam r e s retas paralelas que cortam uma circunferência de centro O em A,B (em r, nessa ordem) e C,D (em s…

Questão

Sejam r e s retas paralelas que cortam uma circunferência de centro O em A,B (em r, nessa ordem) e C,D (em s, nessa ordem). Sabe-se que m(arco AB) = 4x + 20° e m(arco CD) = 6x + 10° e que m(arco AB) + m(arco CD) = 180°. a) Determine x. b) Calcule as medidas dos ângulos centrais ?AOB e ?COD. c) Calcule as medidas dos ângulos inscritos que subtendem os arcos AB e CD. d) Mostre que, para qualquer transversal t que passe por A e C, os ângulos que t forma com r e com s são correspondentes e indique suas medidas caso coincidam com os ângulos inscritos calculados em (c).

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Somando os arcos: (4x+20)+(6x+10)=180 ? 10x+30=180 ? 10x=150 ? x=15. b) m(arco AB)=4·15+20=80° ? ?AOB=80°. m(arco CD)=6·15+10=100° ? ?COD=100° (ângulo central = medida do arco subtendido). c) Ângulo inscrito = metade do arco subtendido: o inscrito que subtende AB mede 80°/2=40°; o inscrito que subtende CD mede 100°/2=50°. d) Como r ? s, uma transversal t que cruza r em A e s em C determina ângulos correspondentes congruentes (propriedade de paralelas cortadas por uma transversal). Se o ângulo formado por t com r em A for o inscrito que subtende AB, sua medida é 40°; se for o inscrito que subtende CD, mede 50°. Assim, os ângulos correspondentes com r e s são iguais entre si e tomam a medida do respectivo ângulo inscrito subtendido pelo arco indicado.

Explicação

A soma das medidas dos arcos AB e CD igual a 180° confirma que eles são suplementares, permitindo a determinação de x. Os ângulos centrais correspondem diretamente às medidas dos arcos, enquanto os ângulos inscritos são sempre a metade dos ângulos centrais. A propriedade de ângulos correspondentes em retas paralelas cortadas por uma transversal garante que os ângulos formados sejam congruentes, refletindo as medidas dos ângulos inscritos.

Raio-X da questão

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