Numa circunferência de centro O, duas retas paralelas r e s interceptam a circunferência em A,B (em r, nessa…

Questão

Numa circunferência de centro O, duas retas paralelas r e s interceptam a circunferência em A,B (em r, nessa ordem) e C,D (em s, nessa ordem). Sabe-se que m(arc AC) = 2x + 30° e m(arc BD) = x + 60°. a) Determine x e as medidas dos arcos AC e BD. b) Calcule a medida do ângulo inscrito ?ABC (vértice em B) que subtende o arco AC. Justifique os passos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Propriedade: se duas retas paralelas r e s cortam a mesma circunferência nas pares (A,B) e (C,D) nas ordens dadas, os arcos interceptados pelos segmentos que ligam pontos correspondentes são iguais; aqui implica m(arc AC)=m(arc BD). Logo 2x+30 = x+60 ? x = 30. Assim m(arc AC)=2·30+30=90° e m(arc BD)=30+60=90°. O ângulo inscrito ?ABC subtende o arco AC, então sua medida é metade do arco: ?ABC = 1/2·90° = 45°. Observações usadas: (1) paralelas geram arcos correspondentes iguais; (2) ângulo inscrito = metade do arco subtendido; (3) ângulo central tem medida igual ao arco correspondente.

Explicação

As retas paralelas geram arcos correspondentes iguais, o que permite igualar as expressões para os arcos AC e BD. A partir da equação obtida, é possível encontrar o valor de x e, consequentemente, as medidas dos arcos. O ângulo inscrito é sempre a metade do arco que ele subtende, justificando assim o cálculo da medida do ângulo ?ABC.

Raio-X da questão

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