Em uma atividade de geometria, uma cooperativa de habitação projetou uma praça quadrada com área de 8 m². Para…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma atividade de geometria, uma cooperativa de habitação projetou uma praça quadrada com área de 8 m². Para calcular a medida do lado dessa praça, representada por x, foi usada a relação x² = 8. Assim, obteve-se x = v8 m. A equipe precisa registrar se essa medida pertence ao conjunto dos números racionais ou dos irracionais. Com base no texto, qual alternativa classifica corretamente o número v8 e apresenta uma justificativa válida para essa classificação?
- A) √8 é racional, pois sua representação decimal termina após algumas casas decimais.
- B) √8 é racional, pois 8 é um número inteiro e todo inteiro possui raiz quadrada racional.
- C) √8 é natural, pois representa uma medida positiva de comprimento da praça.
- D) √8 é inteiro, pois o resultado de uma raiz quadrada de número inteiro também é inteiro.
- E) √8 é irracional, pois √8 = 2√2 e √2 não pode ser escrito como fração de inteiros.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- A medida do lado é x = raiz de 8, pois x^2 = 8 e x é positivo, já que representa um comprimento.
- Fatorando 8 = 4 * 2, temos raiz de 8 = raiz de 4 * raiz de 2 = 2 * raiz de 2.
- A raiz de 2 é irracional, pois não pode ser escrita como fração de inteiros (a demonstração clássica supõe que seria p/q com p e q primos entre si e chega a uma contradição com a paridade). Multiplicar um racional não nulo (o 2) por um irracional continua resultando em irracional, logo raiz de 8 é irracional.
- Conferindo com a calculadora, raiz de 8 é aproximadamente 2,828427..., com infinitas casas decimais que não se repetem periodicamente, o que também indica que é irracional.
- Por que as outras estão erradas: A) confunde número racional com decimal finito, e a representação de raiz de 8 não termina; B) afirma que todo inteiro tem raiz quadrada racional, o que é falso, como mostra o próprio 8; C) confunde a natureza da medida com a classificação do conjunto, pois raiz de 8 não é natural; D) raiz quadrada de inteiro nem sempre é inteiro, e raiz de 8 não é inteiro porque não existe inteiro cujo quadrado seja 8.
- Conclusão: a alternativa E é a única que classifica corretamente o número e apresenta justificativa válida, coincidindo com o gabarito oficial.
💡 Dica: Considere a definição de números racionais e irracionais.
Alternativa por alternativa
O aluno acredita que todo número com representação decimal finita é racional e, sem verificar, supõe que raiz de 8 tem decimal finito. Na verdade, a expansão decimal de raiz de 8 é infinita e não periódica.
Por que engana: O aluno pode confundir a raiz quadrada de 8 com a raiz quadrada de 4, acreditando que ambas são racionais.
O aluno supõe que, se o radicando é inteiro, a raiz também é racional, generalizando indevidamente de casos como raiz de 9 = 3. Raiz de 8 não é exata, então não é racional.
O aluno confunde a classificação do número com o contexto da medida, pensando que, por ser uma medida positiva de comprimento, o valor deve ser natural. Números naturais são inteiros, e raiz de 8 não é inteiro.
O aluno generaliza que a raiz quadrada de um inteiro é sempre inteiro, quando isso só ocorre para quadrados perfeitos. Como 8 não é quadrado perfeito, raiz de 8 não é inteiro.
Como 8 = 4 · 2, temos √8 = √4 · √2 = 2√2. O número √2 é irracional; multiplicá-lo por 2, que é um número racional não nulo, mantém a irracionalidade. Portanto, √8 não pode ser representado na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de zero.
Raio-X da questão
números racionais e irracionais
diagnostico
números racionais · raiz quadrada
Revisar a definição de números racionais e a representação de raízes quadradas.
O aluno pode confundir a raiz quadrada de 8 com a raiz quadrada de 4, acreditando que ambas são racionais.
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abstrato
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