Um aluno mede a altura de uma mesa e obtém v3 m. Ele quer saber se essa medida pode ser escrita exatamente na…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um aluno mede a altura de uma mesa e obtém v3 m. Ele quer saber se essa medida pode ser escrita exatamente na forma de uma fração. Como você responderia ao aluno?
- A) Sim, √3 é igual à fração 17/10.
- B) Sim, √3 é igual ao decimal 1,73.
- C) Não, √3 não pode ser calculado nem aproximado.
- D) Não, √3 não pode ser escrito como uma fração exata.
- E) Sim, √3 é igual à fração 3/1.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Interpreto 'v3 m' como raiz quadrada de 3 metros, ou seja, √3 m. A pergunta é se o número √3 pode ser escrito exatamente como uma fração p/q, com p e q inteiros e q diferente de zero. Passo 2: Sabemos que √3 é um número irracional. Uma forma de provar: se √3 = p/q com p/q em forma irredutível, então 3 = p^2/q^2, logo p^2 = 3q^2. Assim p^2 é múltiplo de 3, e portanto p também é múltiplo de 3. Escrevendo p = 3k, temos 9k^2 = 3q^2, ou seja, q^2 = 3k^2, e então q também seria múltiplo de 3. Isso contradiz a hipótese de que p/q era irredutível. Logo, √3 não pode ser escrito como fração exata. Passo 3: Por isso a alternativa D está correta. Passo 4: A alternativa A está errada, pois 17/10 é igual a 1,7, que é apenas uma aproximação grosseira de √3, que vale aproximadamente 1,732. Passo 5: A alternativa B está errada, pois 1,73 é um decimal finito, portanto equivale à fração 173/100, mas é apenas um valor aproximado de √3 e não o valor exato. Passo 6: A alternativa C está errada, pois √3 pode ser aproximado com a precisão desejada, por exemplo por métodos numéricos ou por calculadora, o que o torna apenas irracional, e não impossível de calcular. Passo 7: A alternativa E está errada, pois 3/1 é igual a 3, que é o valor de √9 e não de √3. Passo 8: Conclusão: a medida √3 m não pode ser escrita exatamente como fração, embora possa ser aproximada por frações ou decimais.
💡 Dica: Considere a representação de raízes em frações.
Alternativa por alternativa
O aluno acha que uma fração simples com valor próximo de √3 já representa o número exatamente, confundindo aproximação com igualdade. Ele também não percebe que 17/10 vale 1,7, bem distante de 1,732.
Por que engana: Confundir a representação decimal de um número irracional com a possibilidade de expressá-lo como fração.
O aluno acredita que um decimal com poucas casas, como 1,73, é uma representação exata de √3, quando na verdade é só um valor aproximado. Ele não distingue decimal finito de número irracional.
O aluno acha que, por não ser uma fração exata, √3 também não pode ser calculado nem aproximado, confundindo a impossibilidade de representação exata com a impossibilidade de aproximação.
O número √3 é irracional, pois não pode ser representado exatamente pela razão entre dois números inteiros. Seu valor pode ser aproximado por números decimais, como 1,73, mas essa aproximação não é igual a √3.
O aluno confunde √3 com √9 ou acredita que a raiz de 3 é um número inteiro, por isso associa o valor a 3/1. Esse erro decorre de falta de atenção ao radicando.
Raio-X da questão
números irracionais
avaliacao
números irracionais · frações
Revisar a representação de números irracionais e frações.
Confundir a representação decimal de um número irracional com a possibilidade de expressá-lo como fração.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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