Explique como você pode demonstrar que a raiz quadrada de 2 é um número irracional. Use a forma clássica de…

Questão

Explique como você pode demonstrar que a raiz quadrada de 2 é um número irracional. Use a forma clássica de prova por contradição.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

A raiz quadrada de 2 não pode ser expressa como uma fração a/b, onde a e b são inteiros. Supondo que a/b é simplificado, temos a² = 2b². Isso implica que a² é par, logo a é par. Se a = 2k, substituindo, temos 4k² = 2b², então b² = 2k², logo b também é par. Portanto, a e b têm um fator comum, contradizendo a suposição inicial.

Explicação

A explicação utiliza a técnica da prova por contradição, partindo da suposição de que a raiz quadrada de 2 pode ser expressa como uma fração simplificada. Ao demonstrar que tanto o numerador quanto o denominador devem ser pares, a conclusão é que eles compartilham um fator comum, o que contraria a suposição inicial de que a fração estava na forma mais simples. Isso prova que a raiz quadrada de 2 não pode ser um número racional, confirmando sua irracionalidade.

Raio-X da questão

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