Uma janela quadrada tem lados de 4 m. Qual opção mostra sua diagonal e diz se ela é irracional?
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma janela quadrada tem lados de 4 m. Qual opção mostra sua diagonal e diz se ela é irracional?
- A) 2√10 m; sim
- B) 4 m; não
- C) 16 m; sim
- D) 4√2 m; sim
- E) 8 m; não
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- A janela é um quadrado de lado 4 m. Pelo teorema de Pitágoras, a diagonal d satisfaz d^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32, logo d = raiz de 32. Como 32 = 16 x 2, temos raiz de 32 = 4 raiz de 2, ou seja, d = 4√2 m. Passo 2: Para saber se é irracional, verificamos se 4√2 pode ser escrito como fração de inteiros. Como raiz de 2 é irracional (não é quociente de inteiros), o produto de um racional não nulo (4) por um irracional também é irracional. Assim, a diagonal é irracional, com valor aproximado de 5,66 m. Passo 3: Comparando com o gabarito oficial, a alternativa D (4√2 m; sim) está correta, e eu cheguei a essa mesma conclusão antes de consultar o gabarito. Passo 4: Por que as outras estão erradas: A) 2√10 m está errada porque 2√10 é aproximadamente 6,32 m, não o valor da diagonal, e não corresponde a 32 no radicando. B) 4 m é o próprio lado do quadrado, não a diagonal, e a afirmação de que seria racional também está incorreta. C) 16 m corresponde à área do quadrado (4 x 4), não à diagonal, mesmo que o número seja racional. E) 8 m é o dobro do lado e não representa a diagonal, que é maior que o lado e não é inteira.
💡 Dica: Use o teorema de Pitágoras para calcular a diagonal.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente aplicou Pitágoras de forma errada, somando os quadrados 4^2 e 6^2 ou obtendo 40 em vez de 32 no radicando, e depois simplificou incorretamente para 2√10.
O aluno confundiu a diagonal com o lado do quadrado, achando que a medida pedida é 4 m, e por isso concluiu que o valor é racional.
Por que engana: Confundir a soma dos lados com o cálculo da diagonal, aplicando incorretamente a fórmula do teorema de Pitágoras.
O aluno calculou a área do quadrado (4 x 4 = 16 m^2) em vez da diagonal e também errou ao afirmar que o valor seria irracional, mostrando confusão entre área e comprimento.
A diagonal do quadrado é lado vezes √2: 4 × √2 = 4√2 m. Como √2 é irracional, 4√2 também é irracional.
O aluno pode ter pensado que a diagonal é o dobro do lado, somando ou multiplicando 4 por 2 sem usar Pitágoras, e por isso concluiu que o valor é inteiro e racional.
Raio-X da questão
diagonal do quadrado
avaliacao
teorema de pitagoras · propriedades do quadrado
Revisar o teorema de Pitágoras e propriedades de quadrados.
Confundir a soma dos lados com o cálculo da diagonal, aplicando incorretamente a fórmula do teorema de Pitágoras.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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