Atividades sobre Competências da área (1ª série, 2ª série, 3ª série) com gabarito — 1ª série, 2ª série, 3ª série, ENEM, FUVEST, UEL, UNESP (EM13MAT509)

Quando recebi o código EM13MAT509 no planejamento do bimestre, confesso que minha primeira reação foi pensar: como transformar mapas e projeções em uma aula de matemática que os alunos realmente entendam? Muitos colegas de geografia e de matemática já passaram por isso. A habilidade fala de deformações, e deformação exige que o aluno enxergue o problema antes de calcular qualquer coisa.

Neste texto eu organizo o que aprendi montando aulas e avaliações sobre esse código, com ideias que cabem na realidade da escola pública e da particular, sem material caro. No final, você encontra seis questões prontas com gabarito comentado.

O que a habilidade EM13MAT509 pede, de verdade?

Na prática, a BNCC pede que o estudante entenda por que um mapa nunca consegue representar a Terra sem distorcer alguma coisa. A redação oficial da habilidade é esta:

Investigar a deformação de ângulos e áreas provocada pelas diferentes projeções usadas em cartografia (como a cilíndrica e a cônica), com ou sem suporte de tecnologia digital.

Traduzindo para a nossa linguagem de sala: o aluno precisa perceber que a Terra é uma superfície curva e o mapa é plano, então alguma coisa sempre se perde. Em algumas projeções os ângulos são preservados, em outras as áreas são preservadas, e em geral as áreas ficam infladas nas regiões mais afastadas do Equador. Investigar significa comparar, medir, calcular o fator de distorção e concluir qual projeção serve para qual finalidade, como navegação marítima ou estudo de áreas de reservas. Não se trata de decorar nomes de projeções, mas de entender o que cada uma sacrifica.

Como trabalhar EM13MAT509 em sala?

Aqui vão ideias que testei ou que colegas me relataram com bons resultados:

• Papel e tesoura com a laranja. Peça que os alunos tentem achatar a casca de uma laranja sem rasgá-la. Eles logo percebem que é impossível manter todas as áreas e formas. Essa é a melhor porta de entrada para a discussão.
• Comparar mapas impressos. Leve dois ou três mapas-múndi com projeções diferentes e peça que meçam, com régua e barbante, o tamanho aparente da Groenlândia e da África. O choque da diferença costuma render a aula inteira.
• Cálculo guiado do fator de escala. Com a fórmula 1/cos(φ) para a escala linear e seu quadrado para a área, os alunos calculam quantas vezes uma região parece maior em determinada latitude. Use o cosseno com valores tabelados, sem exigir calculadora científica.
• Uso de ferramentas digitais, quando houver. Se a escola tem laboratório ou os alunos têm celular, peça que comparem o mesmo parque em dois modos de visualização do aplicativo de mapas. A habilidade prevê esse suporte, mas ele é opcional.

Como avaliar essa habilidade?

Uma boa questão sobre EM13MAT509 precisa cobrar três coisas: que o aluno reconheça a projeção pelo tipo de deformação, que aplique a relação entre escala linear e área, e que interprete o resultado no contexto. Questões que pedem apenas a memorização do nome da projeção deixam passar o essencial.

Erros comuns que vejo em provas: confundir o fator linear com o fator de área (o de área é o quadrado do linear); esquecer que a distorção cresce com a latitude; e tratar projeção conforme e equivalente como se fossem a mesma coisa. Vale também cuidar para que o enunciado forneça os dados necessários, em vez de depender de tabelas que o aluno não tem à mão.

Questões prontas de EM13MAT509 (com gabarito comentado)

As questões abaixo estão alinhadas à habilidade e cobrem fator de distorção, interpretação de projeções e análise de erro relativo. Tente resolver antes de olhar o gabarito.

Questão 1: distorção de área na projeção de Mercator

Apesar do uso generalizado da projeção de Mercator em cartas náuticas, sabe-se que essa projeção cilíndrica distorce áreas a cada vez mais distantes do Equador. Em uma comparação entre a região real e sua representação num mapa de Mercator, o fator de escala linear a cada latitude é dado por 1/cosφ, onde φ é a latitude. Consequentemente, o fator de distorção de área é o quadrado desse valor. Para a latitude de 60 graus, cos(60°)=0,5.

Analise o texto-base e calcule o fator de distorção de área na latitude de 60° no mapa de Mercator em relação à área real.

• ❌ A) 1/2 vez menor — Usa erroneamente cos(60°)=0,5 em vez de sua inversa ou quadrado desta.
• ❌ B) raiz quadrada de 2 vezes maior — Confunde fator de área com radicando de tan ou interpreta a escala incorretamente.
• ✅ C) 4 vezes maior — O fator linear é 1/0,5=2, então a área escala como 2²=4 vezes maior.
• ❌ D) 2 vezes maior — Confunde o fator linear (2) com o fator de área, que é o quadrado desse valor.
• ❌ E) 1,5 vezes maior — Valor arbitrário sem relação com cos60° ou com o fator quadrado.

Questão 2: comparando regiões no equador e a 60 graus

Por que os países próximos aos polos parecem maiores nos mapas que usamos? Dados ilustrativos: na projeção cilíndrica de Mercator, a escala linear em qualquer direção aumenta em fator 1/cos(φ), onde φ é a latitude. Como consequência, a distorção de área nessa projeção cresce como 1/[cos(φ)]². Considere duas regiões de igual área real: A localizada no equador (φ = 0°) e B localizada no paralelo de 60° (φ = 60°).

Com base no texto-base, calcule o fator de distorção da área de B em relação à de A nessa projeção.

• ❌ A) 1,5 vezes — Valor sem relação com 1/(cos60°)², resultado arbitrário e incorreto.
• ❌ B) 0,25 vezes — Usa erroneamente o inverso do fator correto, sugerindo redução em vez de aumento.
• ✅ C) 4 vezes — Em φ=60°, cos(60°)=0,5, logo a distorção de área é 1/(0,5)²=4 vezes em relação a A.
• ❌ D) 1 vez — Ignora a variação da escala; indicaria nenhuma distorção, contrariando o texto-base.
• ❌ E) 2 vezes — Confunde distorção linear (1/cos φ=2) com distorção de área, que é quadrática.

Questão 3: estimando a ampliação da área de um estado no mapa

ENEM - 2013. Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse estado no mapa do Brasil. Esse número é

Esse número é

• ❌ A) Menor que 10.— A ampliação é maior que 10, portanto essa alternativa está errada.
• ❌ B) Maior que 10 e menor que 20. — A ampliação é maior que 20, então essa alternativa está errada.
• ❌ C) Maior que 20 e menor que 30. — A ampliação é maior que 30, logo essa alternativa está errada.
• ✅ D) Maior que 30 e menor que 40. — Correta, pois a ampliação da área é maior que 30 e menor que 40.
• ❌ E) Maior que 40. — A ampliação não é maior que 40, portanto essa alternativa está errada.

Questão 4: qual mapa inflou a área da Reserva Azul?

Por que um mesmo parque pode “crescer” quando se muda o tipo de mapa no celular? Ao preparar uma reportagem, uma jornalista comparou duas visualizações da Reserva Azul, cuja área oficial é 2 500 km². No Mapa 1, a ferramenta de medição indicou 10 000 km², e um cruzamento conhecido por formar 90 graus entre duas avenidas manteve esse ângulo. No Mapa 2, a área medida coincidiu com 2 500 km², mas o mesmo cruzamento apareceu com 84 graus.

O manual do aplicativo informa: na projeção cilíndrica conforme, ângulos locais são preservados e a área medida fica multiplicada por 1/cos²(φ), em que φ é a latitude. Na projeção cônica equivalente, áreas são preservadas. Para estimativas: cos(30 graus)=0,87; cos(45 graus)=0,71; cos(60 graus)=0,50.

Interprete as informações do texto e determine a latitude aproximada φ da Reserva Azul, considerando o mapa em que a área foi inflada pela projeção e a relação 1/cos²(φ).

• ❌ A) 80 graus — Erro de extrapolação: em 80 graus, o cosseno é muito pequeno e a inflação de área seria enorme, não apenas 4 vezes.
• ✅ B) 60 graus — Como o Mapa 1 preserva ângulos, ele é o conforme: 10 000/2 500=4=1/cos²(φ), logo cos(φ)=1/2 e φ≈60 graus.
• ❌ C) 45 graus — Erro por usar 45 graus: daria fator 1/(0,71²)≈2, incompatível com a inflação de 4 vezes observada.
• ❌ D) 70 graus — Erro por superestimar a latitude: em 70 graus, o cosseno é menor e o fator 1/cos²(φ) seria bem maior que 4.
• ❌ E) 30 graus — Erro de proporção: em 30 graus, o fator 1/cos²(φ) fica perto de 1,3, não de 4 (10 000/2 500).

Questão 5: escolhendo a projeção para medir reservas

Como representar fielmente as dimensões de um país no papel? Em um levantamento sobre mapeamento de reservas naturais situadas entre 30°S e 50°S, foram avaliadas duas projeções. A projeção cilíndrica conforme preserva perfeitamente ângulos, mas superestima em até 40% as áreas nas altas latitudes. A projeção cônica equivalente mantém a proporção entre áreas, com deformação angular limitada a 10°.

Com base nas características de deformação apresentadas, identifique a projeção cartográfica mais adequada para preservar a área real das reservas naturais situadas entre 30°S e 50°S.

• ❌ A) Projeção cilíndrica conforme — Preserva ângulos, mas causa grande superestimação de áreas em latitudes médias e altas.
• ✅ B) Projeção cônica equivalente — Mantém a proporção entre áreas, atendendo ao objetivo de medir corretamente as reservas naturais.
• ❌ C) Projeção cônica conforme — Embora cônica, sendo conforme preserva ângulos, mas também distorce áreas.
• ❌ D) Projeção cilíndrica equivalente — Mesmo sendo equivalente, o formato cilíndrico gera grande distorção angular nessa faixa de latitude.
• ❌ E) Projeção azimutal equidistante — Preserva distâncias a partir de um ponto central, mas não garante conservação de áreas.

Questão 6: qual projeção deforma mais a área?

Por que áreas próximas aos polos parecem maiores nos mapas Mercator? Em um estudo comparativo, cartógrafos calcularam a área de uma reserva circular de mesma extensão em duas projeções. Na projeção cilíndrica de Mercator, a região ocupa 4 000 km², enquanto na projeção cônica conforme de Lambert a mesma reserva aparece com 2 500 km². Sabe-se que a área real medida por satélite é de 3 000 km². Esses valores ilustram como diferentes projeções deformam áreas em função da latitude.

Analise o texto-base e determine em qual projeção a deformação de área é maior e qual é a porcentagem de erro relativo à área real.

• ❌ A) A projeção cilíndrica apresenta excesso de aproximadamente 25%. — Erro calculado equivocadamente; o excesso real é 33,3%, não 25%.
• ❌ B) A projeção cônica apresenta excesso de aproximadamente 33,3%. — A projeção cônica subestima a área, não apresenta excesso.
• ❌ C) A projeção cilíndrica apresenta déficit de aproximadamente 16,7%. — A projeção cilíndrica superestima a área; não há déficit de 16,7%.
• ✅ D) A projeção cilíndrica apresenta excesso de aproximadamente 33,3%. — Erro Mercator = (4 000−3 000)/3 000≈0,333, ou 33,3%, maior que na cônica.
• ❌ E) A projeção cônica apresenta déficit de aproximadamente 16,7%. — Aponta corretamente o erro da cônica, mas não indica a maior deformação, como pedido.

Próximos passos

Se você quer aprofundar, consulte a consulta completa do código EM13MAT509, com todas as questões alinhadas à habilidade. Para montar sua própria prova em minutos, use o gerador de provas do GeraProva. Ainda não tem conta? Faça seu cadastro grátis e comece pelo acervo.

As questões deste texto são ilustrativas e revisadas para apoiar seu planejamento; sempre adapte ao nível e ao contexto da sua turma. Bom trabalho em sala!