Atividades sobre Competências da área (1ª série, 2ª série, 3ª série) com gabarito — 1ª série, 2ª série, 3ª série, ENEM, FUVEST, UEL, UNESP (EM13MAT508)

Quando recebo o código EM13MAT508 no planejamento do bimestre, a primeira reação costuma ser a mesma: é uma habilidade longa, com vários verbos, e eu preciso transformá-la em aula e em uma avaliação que os alunos consigam resolver sem perder o sentido. Já passei por isso muitas vezes, e o caminho que encontrei foi partir de situações concretas, como caixas de embalagem, visualizações de vídeo e acessos de plataforma, para só depois chegar à fórmula.

Neste post eu organizo o que aprendi: o que a habilidade pede de verdade, como trabalhá-la em sala com pouco material, como avaliar sem cair em armadilhas e seis questões prontas, com gabarito comentado, que você pode usar ou adaptar hoje mesmo.

O que a habilidade EM13MAT508 pede, de verdade?

Traduzindo para a linguagem da sala de aula: o aluno precisa reconhecer quando uma sequência de números cresce (ou diminui) sempre pelo mesmo fator, que é a progressão geométrica, e perceber que essa mesma regra pode ser escrita como uma função exponencial. A parte mais importante é o domínio discreto: a função só faz sentido para valores inteiros, porque não existe a "rodada 2,5" ou o "dia 3,7". Essa ideia costuma passar batida e é exatamente o que separa uma boa questão de uma questão mecânica.

O texto oficial da habilidade diz:

Identificar e associar progressões geométricas (PG) a funções exponenciais de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.

Na prática, isso significa três movimentos: identificar a razão constante em uma sequência, associar essa sequência a uma função exponencial com domínio inteiro e usar essa associação para analisar propriedades, deduzir a fórmula do termo geral e resolver problemas contextualizados.

Como trabalhar EM13MAT508 em sala?

Estas são as ideias que mais funcionam na minha turma, todas sem material caro:

• Dobradura de papel: dobre uma folha ao meio, depois de novo, e registre o número de camadas a cada dobra. Os alunos percebem sozinhos a potência de 2 e a razão constante.
• Cadeia de contágio ou boato: cada aluno "conta" para dois colegas e você anota quantas pessoas já sabem a informação em cada rodada. É uma PG de razão 2 que todos entendem na hora.
• Tabela antes da fórmula: peça que preencham uma tabela com número da etapa e valor. Só depois de notar a razão, apresente a expressão com o expoente n − 1.
• Comparar crescimento linear e exponencial: desenhe no quadro duas sequências que começam iguais e mostre como uma ultrapassa a outra. Isso evita o erro de confundir PG com PA.
• Discutir o domínio: pergunte se faz sentido calcular o termo de ordem 2,5. A discussão sobre números inteiros costuma render bons minutos de debate.

Como avaliar essa habilidade?

Uma boa questão desse código precisa cobrar que o aluno identifique a razão a partir de dados, escreva a função corretamente (atenção ao expoente, que começa em n − 1 quando o primeiro termo é o da posição 1) e use o modelo para responder algo do contexto. Questões que apenas pedem para aplicar uma fórmula decorada deixam de fora a análise, que é o coração da habilidade.

Os erros mais comuns que vejo nas provas são: trocar o termo inicial pelo segundo termo da sequência, inverter a razão (usar 2/3 quando o crescimento é de 50%), confundir aumento percentual com acréscimo fixo (transformando uma PG em PA) e esquecer que o domínio é discreto. Vale desenhar essas armadilhas nas alternativas, como fazemos nas questões abaixo.

Questões prontas de EM13MAT508 (com gabarito comentado)

Abaixo estão as seis questões do acervo alinhadas ao código, com o gabarito comentado. Em cada uma, a alternativa correta está marcada com ✅ e as erradas com ❌, explicando por que cada uma falha.

Questão 1: volume de caixas cúbicas

Uma indústria brasileira de embalagens desenvolveu quatro modelos sucessivos de caixas cúbicas. Em cada novo modelo, o volume foi obtido multiplicando o volume do modelo anterior por um mesmo fator. Os dados registrados no controle de qualidade foram:

Modelo: 1 | 2 | 3 | 4 — Volume (cm³): 27 | 216 | 1 728 | 13 824

A sequência continua obedecendo ao mesmo padrão para modelos de numeração inteira n = 1.

Com base nos dados da tabela, qual função exponencial descreve o volume V(n), em centímetros cúbicos, do modelo de número n?

• ❌ A) V(n) = 27 · 4^(n − 1) — Preserva o primeiro volume, mas determina incorretamente a razão como 4, em vez de comparar corretamente volumes consecutivos da tabela.
• ✅ B) V(n) = 27 · 8^(n − 1) — O primeiro modelo tem volume 27 cm³, portanto V(1) = 27. A razão entre volumes consecutivos é constante: 216 ÷ 27 = 8, 1 728 ÷ 216 = 8 e 13 824 ÷ 1 728 = 8. Assim, V(n) = 27 · 8^(n − 1).
• ❌ C) V(n) = 27 · 6^(n − 1) — Resulta de calcular incorretamente a razão, confundindo a diferença entre os dois primeiros volumes com um fator de multiplicação.
• ❌ D) V(n) = 27 · 8^n — Mantém a base e o valor inicial, mas não ajusta o expoente: essa expressão fornece 216 cm³ para o modelo 1, e não 27 cm³.
• ❌ E) V(n) = 216 · 8^(n − 1) — Usa o volume do segundo modelo como se fosse o volume inicial. Preserva a razão 8, mas fornece 216 cm³ para n = 1.

Dica de resolução: analise a relação exponencial entre o número do modelo e o volume.

Questão 2: pirâmides de bolinhas na oficina de modelagem

Em uma oficina de modelagem 3D, estudantes constroem pirâmides de bolinhas para representar diferentes etapas de um projeto. Na etapa 0, são usadas 6 bolinhas. A cada nova etapa, a quantidade de bolinhas é multiplicada por 3. Assim, a quantidade N(x), em que x representa o número inteiro da etapa, é dada por N(x) = 6 · 3^x. O gráfico mostra essa quantidade em cada etapa.

Com base nesse modelo e no gráfico, em que etapa a quantidade de bolinhas atinge exatamente 486?

• ❌ A) Etapa 3 — O cálculo encontra o expoente 4 em 3^4 = 81, mas subtrai 1 como se a fórmula fosse 6 · 3^(x − 1).
• ❌ B) Etapa 5 — O cálculo encontra o expoente 4, mas soma 1 ao resultado, deslocando a etapa uma posição à frente.
• ❌ C) Etapa 1 — Depois de obter o expoente 4, subtrai 3 em vez de usar esse expoente como o número da etapa.
• ❌ D) Etapa 2 — Depois de obter o expoente 4, divide-o por 2 sem motivo, chegando à etapa 2.
• ✅ E) Etapa 4 — Igualando a quantidade a 486, temos 6 · 3^x = 486. Como 486 ÷ 6 = 81 = 3^4, a etapa é x = 4, como também mostra o gráfico.

Dica de resolução: iguale 6·3^x a 486 e determine o expoente correspondente.

Questão 3: volume de transferência para o repositório público

Por que um acervo digital pode exigir planejamento de espaço antes mesmo de todos os arquivos serem recebidos? Em uma simulação para ampliar o repositório público de uma cidade, os técnicos dividiram a transferência em oito rodadas, numeradas de 1 a 8. Na primeira, foram previstos 40 terabytes de documentos; na segunda, 60; e na terceira, 90. O plano estabelece que, em cada nova rodada, o volume transferido seja 50% maior que o da rodada anterior. Para projetar a capacidade dos servidores, a planilha deve usar uma função cujo domínio seja apenas o conjunto dos números inteiros correspondentes às rodadas, pois não há uma rodada intermediária, como 2,5.

Analise os dados da simulação e identifique a função T que expressa, em terabytes, o volume previsto na rodada n, para n inteiro de 1 a 8.

• ❌ A) T(n)=40·(3/2)^n, para n inteiro de 1 a 8. — Erro de indexação: com n=1, a função fornece 60, atribuindo à primeira rodada o volume da segunda.
• ✅ B) T(n)=40·(3/2)^(n−1), para n inteiro de 1 a 8. — A primeira rodada tem 40 terabytes e cada termo é obtido pela multiplicação por 3/2. O expoente n − 1 garante T(1)=40.
• ❌ C) T(n)=60·(3/2)^(n−1), para n inteiro de 1 a 8. — Erro de termo inicial: 60 terabytes correspondem à segunda rodada, e não à primeira.
• ❌ D) T(n)=40·(2/3)^(n−1), para n inteiro de 1 a 8. — Erro de inverter a razão. O fator 2/3 representa redução a cada rodada, enquanto o texto informa aumento de 50%.
• ❌ E) T(n)=40+20·(n−1), para n inteiro de 1 a 8. — Erro de confundir crescimento percentual com acréscimo fixo. Essa expressão descreve uma progressão aritmética de razão 20.

Dica de resolução: identifique a razão de crescimento e use progressão geométrica para modelar a função.

Questão 4: lojas de uma rede no município X

Em um estudo sobre expansão de mercados em regiões urbanas, pesquisadores analisaram o número de lojas de uma rede no município X em intervalos de dez anos. Em 1950 havia 1200 lojas, em 1960 eram 1800 e, em 1970, 2700. Observou-se que, a cada década, o total de lojas multiplicava-se por um fator constante.

A partir do texto-base, identifique a expressão que representa o número de lojas P(t), em função do número de décadas t desde 1950 (t=0 em 1950).

• ❌ A) P(t)=1200·1,8^t — Erro de razão: usou 1,8 em vez de 1,5; não corresponde aos dados.
• ✅ B) P(t)=1200·(3/2)^t — Com razão r=1800/1200=1,5=3/2 e termo inicial P(0)=1200, P(t)=1200·(3/2)^t.
• ❌ C) P(t)=1200·(2/3)^t — Inverteu a razão; decresceria o número de lojas, o que não ocorre.
• ❌ D) P(t)=1800·(3/2)^t — Termo inicial incorreto: deveria usar P(0)=1200, não 1800.
• ❌ E) P(t)=1200+600·t — Modelo aritmético, não geométrico; ignora a multiplicação por fator.

Dica de resolução: identifique o fator de multiplicação constante e escreva a função exponencial.

Questão 5: visualizações de um vídeo institucional

O setor de marketing digital de uma startup analisou o desempenho de um vídeo institucional. No primeiro dia após a publicação, foram registradas 80 visualizações. A cada novo dia, o número de visualizações diárias dobra em relação ao dia anterior. Em razão de limitações contratuais, foi estabelecido um teto máximo de 5 120 visualizações diárias.

Com base no texto-base, determine quantos dias serão necessários para que o número diário de visualizações ultrapasse o teto de 5 120.

• ❌ A) 5 dias — Em 5 dias chega a 80·2^4=1 280, que ainda está abaixo de 5 120.
• ❌ B) 9 dias — Em 9 dias são 20 480 visualizações; esse valor também ultrapassa, mas não é o mínimo.
• ✅ C) 8 dias — Em 8 dias o valor é 80·2^7=10 240, primeiro dia em que ultrapassa 5 120.
• ❌ D) 6 dias — Em 6 dias atinge 2 560 visualizações, não ultrapassa o teto.
• ❌ E) 7 dias — Em 7 dias são 5 120 visualizações, que apenas igualam o teto, não ultrapassam.

Dica de resolução: calcule a progressão geométrica até ultrapassar 5120 visualizações.

Questão 6: acessos diários na plataforma de jogos

O monitoramento interno da plataforma de jogos online registrou o número de acessos diários durante a primeira semana de lançamento. No primeiro dia, houve 1.200 acessos; no segundo, 1.800; e no terceiro, 2.700. Observou-se que o padrão de crescimento formou uma sequência cujos termos sucessivos mantiveram razão constante.

Com base no texto-base, identifique o número de acessos no quinto dia de operação.

• ❌ A) 8.100 — Equivale a 1200·(1,5)^5, calculando um termo posterior ao quinto dia.
• ❌ B) 4.050 — Corresponde a a_4=1200·(1,5)^3, não ao quinto dia.
• ❌ C) 7.500 — Obtido ao multiplicar 1.500 por 5, incorreto pois o primeiro termo é 1.200.
• ❌ D) 5.400 — Resulta de usar razão 1,4 em vez de 1,5, procedimento incorreto.
• ✅ E) 6.075 — a_n=1200·(1,5)^(n−1), logo a_5=1200·(1,5)^4=1200·5,0625=6.075.

Dica de resolução: identifique a razão da sequência e calcule o quinto termo da progressão geométrica.

Próximos passos

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As questões deste post servem como ponto de partida e podem ser adaptadas à sua turma. Revise sempre o enunciado antes de aplicar em avaliação oficial. Bom trabalho na sala!